2015.6.15—卡尔曼滤波算法

卡尔曼滤波（Kalman filtering）一种利用线性系统状态方程，通过系统输入输出观测数据，对系统状态进行最优估计的算法。由于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响，所以最优估计也可看作是滤波过程。

①卡尔曼滤波是一个算法，它适用于线性、离散和有限维系统。每一个有外部变量的自回归移动平均系统(ARMAX)或可用有理传递函数表示的系统都可以转换成用状态空间表示的系统，从而能用卡尔曼滤波进行计算。
②任何一组观测数据都无助于消除x(t)的确定性。增益K(t)也同样地与观测数据无关。
③当观测数据和状态联合服从高斯分布时用卡尔曼递归公式计算得到的是高斯随机变量的条件均值和条件方差，从而卡尔曼滤波公式给出了计算状态的条件概率密度的更新过程线性最小方差估计，也就是最小方差估计。

状态估计：状态估计是卡尔曼滤波的重要组成部分。一般来说，根据观测数据对随机量进行定量推断就是估计问题，特别是对动态行为的状态估计，它能实现实时运行状态的估计和预测功能。比如对飞行器状态估计。状态估计对于了解和控制一个系统具有重要意义，所应用的方法属于统计学中的估计理论。最常用的是最小二乘估计，线性最小方差估计、最小方差估计、递推最小二乘估计等。其他如风险准则的贝叶斯估计、最大似然估计、随机逼近等方法也都有应用。

现设线性时变系统的离散状态防城和观测方程为：

X(k) = F(k,k-1)·X(k-1)+T(k,k-1)·U(k-1)

Y(k) = H(k)·X(k)+N(k)

其中

X(k)和Y(k)分别是k时刻的状态矢量和观测矢量

F(k,k-1)为状态转移矩阵

U(k)为k时刻动态噪声

T(k,k-1)为系统控制矩阵

H(k)为k时刻观测矩阵

N(k)为k时刻观测噪声

则卡尔曼滤波的算法流程为：

预估计X(k)^= F(k,k-1)·X(k-1)
计算预估计协方差矩阵
C(k)^=F(k,k-1)×C(k)×F(k,k-1)’+T(k,k-1)×Q(k)×T(k,k-1)’
Q(k) = U(k)×U(k)’
计算卡尔曼增益矩阵
K(k) = C(k)^×H(k)’×[H(k)×C(k)^×H(k)’+R(k)]^(-1)
R(k) = N(k)×N(k)’
更新估计
X(k)~=X(k)^+K(k)×[Y(k)-H(k)×X(k)^]
计算更新后估计协防差矩阵
C(k)~ = [I-K(k)×H(k)]×C(k)^×[I-K(k)×H(k)]’+K(k)×R(k)×K(k)’
X(k+1) = X(k)~
C(k+1) = C(k)~
重复以上步骤

其c语言实现代码如下：